03. 확률 (Probability)

1. 시행과 사건

• 시행 : 동일한 조건 하에 여러번 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의해 결정되는 실험이나 관찰
• 표본공간 : 어떤 시행에서 일어날 수 있는 모든 결과들의 집합
• 사건 : 표본공간의 부분집합으로서 특정한 조건을 만족하는 모든 결과들의 집합
• 근원사건 : 어떤 시행에서 얻을 수 있는 사건 중 더 이상 나눌 수 없는 기본적인 사건, 즉 표본공간의 부분집합(사건) 중 원소가 1개인 집합
• 전사건 : 어떤 시행에서 반드시 일어나는 사건, 즉 표본공간
• 공사건 : 어떤 시행에서 절대 일어날 수 없는 사건, 즉 공집합에 대응되는 사건

예시) 표본공간 S의 두 사건 A, B에 대하여

1. 합사건(A∪B) : A 또는 B가 일어나는 사건
2. 곱사건(A∩B) : A와 B가 동시에 일어나는 사건
3. 배반사건 : A와 B가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 A∩B=∅
4. 여사건 : A가 일어나지 않는 사건

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2. 확률

수학적 확률

 표본공간 S 안에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 같을 때, 사건 A에 대하여

를 사건 A가 일어날 수학적 확률이라고 합니다.

 

통계적 확률

 같은 시행을 n번 반복하여 사건 A가 일어난 횟수를 r이라 할 때, 시행 횟수 n을 한없이 크게 함에 따라 상대도수 r/n이 가까이 다가가는 일정한 값 p를 사건 A가 일어날 통계적 확률이라고 합니다

기하학적 확률

 영역 S 안에서 각각의 점을 잡을 가능성이 같을 때, 영역 A(⊂S)에 대하여 

를 영역 S에서 임의로 잡은 점이 영역 a에 속할 기하학적 확률이라 한다.

※ 영역 S를 표본공간, 점을 근원사건, 영역 A를 사건 A로 바꾸면 수학적 확률과 같다.

 

기본 성질

 표본공간 S의 임의의 사건 A에 대하여

1. 0≤P(A)≤1
2. P(S)=1
3. P(∅)=0

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3. 확률정리/여사건/조건부확률

덧셈정리

표본공간 S의 두 사건 A, B에 대해여

두 사건 A, B가 서로 배반사건이면

곱셈정리

P(A)>0, P(B)>0일 때, 두 사건 A와 B가 동시에 일어날 확률은 

 

여사건

사건 A의 여사건의 확률은

조건부확률

사건 A, B가 표본공간 S의 두 부분집합이라 할 때, 사건 A가 일어났다는 조건 하에 사건 B가 일어날 확률을 사건 A가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률이라고 하며, 이것을 기호로 P(B|A)로 표시한다. 이 때 조건부확률은

여사건 / 조건부확률

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4. 사건의 독립과 종속

• 독립 : 한 사건의 발생 여부가 다른 사건에 영향을 주지 않는 것
• 종속 : 한 사건의 발생 여부가 다른 사건에 영향을 주는 것

 

독립과 종속

두 사건 A, B에 대하여 어느 한 사건이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 끼치지 않을 때, 즉

일 때, 두 사건 A, B를 서로 독립이라고 합니다. 두 사건이 독립이 아니면, 종속이라고 합니다. 두 사건이 A, B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은

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5. 독립시행의 확률

• 독립시행 : 어떤 시행을 반복하는 경우 매 시행마다 일어나는 사건이 서로 독립일 때, 이러한 시행을 독립시행이라고 합니다.

독립시행의 확률

 매회 사건 A가 일어날 확률이 p, 사건 A가 일어나지 않을 확률이 (1-p)로 일정할 때, n회의 독립시행 중 A가 r번 일어날 확률은